Курс теоретической астрофизики - Соболев Виктор Викторович

𝑊

=

1

2

⎡

⎢

⎣

1-

⎧

⎪

⎩

1-

⎛

⎜

⎝

𝑟_∗

𝑟

⎞²

⎟

⎠

⎫½

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

.

(22.4)

В точку, находящуюся на поверхности звезды, излучение приходит от полусферы. Поэтому в данном случае (т.е. при 𝑟=𝑟_∗) 𝑊=½.

Для точек, находящихся на больших расстояниях от звезды (т.е. при 𝑟≫𝑟_∗), из формулы (22.4) находим

𝑊

=

1

2

⎛

⎜

⎝

𝑟_∗

𝑟

⎞²

⎟

⎠

.

(22.5)

Заметим, что в этом случае коэффициент дилюции может быть представлен как отношение площади диска звезды π𝑟_∗² к площади сферы радиуса 𝑟, т.е. 4π𝑟².

Средние радиусы планетарных туманностей оказываются порядка 10¹⁷ см, а радиусы их ядер — порядка 10¹⁰ см. Поэтому плотность излучения в планетарной туманности ослаблена приблизительно в 10¹⁴ раз по сравнению с плотностью излучения на поверхности звезды.

Проинтегрировав соотношение (22.2) по всем частотам и воспользовавшись формулой Стефана — Больцмана для интегральной плотности излучения при термодинамическом равновесии, получаем следующее выражение для интегральной плотности излучения в туманности

ρ

=

𝑊𝑎𝑇

_∗

⁴

.

(22.6)

Представив величину ρ в виде ρ=𝑎𝑇₁⁴, находим

𝑇₁

=

𝑊

^¼

𝑇

_∗

.

(22.7)

Так как температуры звёзд, вызывающих свечение туманностей, порядка нескольких десятков тысяч кельвинов, а значения 𝑊 в туманностях, как мы только что определили, порядка 10⁻¹⁴, то значения температуры 𝑇₁ соответствующей интегральной плотности излучения в туманностях, оказываются всего порядка нескольких десятков кельвинов.

Итак, интегральная плотность излучения, приходящего от звезды в туманность, чрезвычайно мала. Между тем, как видно из формулы (22.2), относительное распределение этого излучения по частотам оказывается таким же, как при выходе из звезды, т.е. соответствующим очень высокой температуре 𝑇_∗. Таким образом, излучение, приходящее от звезды в туманность, характеризуется громадным несоответствием между интегральной плотностью и спектральным составом.

Если излучение, обладающее указанным свойством, взаимодействует с веществом, то, как известно из термодинамики, происходит перераспределение излучения по частотам в направлении установления наиболее вероятного распределения. Иными словами, в таком случае должна происходить переработка квантов больших частот в кванты меньших частот. Этим даётся качественное объяснение процесса переработки излучения в газовых туманностях.

3. Теорема Росселанда.

Переходя к рассмотрению процесса свечения туманностей с количественной стороны, мы сначала допустим, что атомы обладают только тремя уровнями энергии (1, 2 и 3). Из различных переходов, происходящих под действием излучения звезды, мы рассмотрим два взаимно противоположных циклических процесса:

I.

1

→

3

→

2

→

1

,

II.

1

→

2

→

3

→

1

.

Первый из этих процессов связан с поглощением одного кванта частоты ν₁₃ и с излучением двух квантов меньших частот ν₁₂ и ν₂₃, а второй — с поглощением двух квантов частот ν₁₂ и ν₂₃, и последующим излучением одного кванта большей частоты ν₁₃.

Найдём число процессов первого и второго рода, происходящих в единице объёма туманности за 1 с. Для этого воспользуемся эйнштейновскими коэффициентами переходов 𝐴_𝑘𝑖, 𝐵_𝑖𝑘 и 𝐵_𝑘𝑖 и обозначим через ρ_𝑖𝑘 плотность излучения частоты ν_𝑖𝑘.

Если 𝑛₁ — число атомов в первом состоянии в 1 см³, то число переходов из первого состояния в третье, происходящих в 1 см³ за 1 с, будет равно 𝑛₁𝐵₁₃ρ₁₃. Из третьего состояния возможны переходы (спонтанные и индуцированные) как в первое состояние, так и во второе. Доля интересующих нас переходов во второе состояние равна

𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

.

Из атомов, оказавшихся во втором состоянии, часть перейдёт обратно в третье состояние, поглотив излучение, а часть перейдёт в первое состояние (спонтанно или под действием излучения). Отношение числа переходов из второго состояния в первое к общему числу переходов из второго состояния равно

𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

.

Таким образом, для искомого числа процессов первого рода получаем

𝑁

_I

=

𝑛₁𝐵₁₃ρ₁₃

𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

×

×

𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂

.

(22.8)

Аналогично находится число процессов второго рода. Оно оказывается равным

𝑁

_II

=

𝑛₁𝐵₁₂ρ₁₂

𝐵₂₃ρ₂₃

𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂+𝐵₂₃ρ₂₃

×

×

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃

𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃+𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃

.

(22.9)

Из соотношений (22.8) и (22.9) вытекает следующая формула для отношения числа процессов второго рода к числу процессов первого рода:

𝑁_II

𝑁_I

=

𝐵₁₂ρ₁₂𝐵₂₃ρ₂₃(𝐴₃₁+𝐵₃₁ρ₁₃)

𝐵₁₃ρ₁₃(𝐴₃₂+𝐵₃₂ρ₂₃)(𝐴₂₁+𝐵₂₁ρ₁₂)

.

(22.10)

Чтобы упростить полученную формулу, введём соотношения Эйнштейна:

𝐴

_𝑘𝑖

=

𝐵

_𝑖𝑘

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

σ

_𝑖𝑘

,

𝐵

_𝑘𝑖

=

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

𝐵

_𝑖𝑘

,

(22.11)

где

σ

_𝑖𝑘

=

8πℎν_𝑖𝑘³

𝑐³

,

(22.12)

а 𝑔_𝑖 — статистический вес 𝑖-го состояния (см. § 8). Кроме того, запишем величину ρ_𝑖𝑘 в виде

ρ

_𝑖𝑘

=

𝑊

σ

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

,

(22.13)

где

ρ

_𝑖𝑘

=

1

.

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

_𝑖𝑘

-1

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_∗

(22.14)

В результате формула (22.10) преобразуется к виду