Курс теоретической астрофизики - Соболев Виктор Викторович
(19.32)
где обозначено
φ(μ)
=
1+
2μ
1
∫
0
ρ(μ,μ')
𝑑μ'
,
(19.33)
ψ(μ)
=
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ
⎞
⎟
⎠
+
2μ
1
∫
0
σ(μ,μ')
𝑑μ'
.
(19.34)
После умножения соотношения (19.31) на
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀-τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑μ
μ
,
и интегрирования аналогично получаем
𝐹
σ(μ,μ₀)
(μ-μ₀)
=
𝑆(0,μ₀)
ψ(μ)
-
𝑆(τ₀,μ₀)
φ(μ)
.
(19.35)
С другой стороны, из уравнения (19.24) вытекает
𝑆(0,μ₀)
=
λ
2
τ₀
∫
0
𝑆(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
1
∫
0
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑡
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑μ
μ
+
λ
4
𝐹
=
=
λ
2
1
∫
0
𝑑μ
τ₀
∫
0
𝑆(𝑡,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑡
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑡
μ
+
λ
4
𝐹
=
=
λ
4
𝐹
⎡
⎢
⎣
1+
2μ₀
1
∫
0
ρ(μ,μ₀)
𝑑μ
⎤
⎥
⎦
.
(19.36)
Из того же уравнения аналогично находим
𝑆(τ₀,μ₀)
=
λ
4
𝐹
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ₀
⎞
⎟
⎠
+
2μ₀
1
∫
0
σ(μ,μ₀)
𝑑μ
⎤
⎥
⎦
.
(19.37)
Пользуясь симметричностью величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). относительно μ и μ₀ (которая будет доказана ниже) и обозначениями (19.33) и (19.34), получаем
𝑆(0,μ₀)
=
λ
4
𝐹
φ(μ₀)
,
𝑆(τ₀,μ₀)
=
λ
4
𝐹
ψ(μ₀)
.
(19.38)
Подстановка выражений (19.38) в формулы (19.32) и (19.35) даёт
ρ(μ,μ₀)
=
λ
4
φ(μ)φ(μ₀)-ψ(μ)ψ(μ₀)
μ+μ₀
,
(19.39)
σ(μ,μ₀)
=
λ
4
ψ(μ)φ(μ₀)+φ(μ)ψ(μ₀)
μ-μ₀
.
(19.40)
Подставляя же выражения (19.39) и (19.40) в формулы (19.33) и (19.34), находим
φ(μ)
=
1+
λ
2
μ
1
∫
0
φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')
μ+μ'
𝑑μ'
,
(19.41)
ψ(μ)
=
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ
⎞
⎟
⎠
+
+
λ
2
μ
1
∫
0
ψ(μ)φ(μ')-φ(μ)ψ(μ')
μ-μ'
𝑑μ'
.
(19.42)
Соотношения (19.39)—(19.42) являются искомыми. Формулы (19.39) и (19.40) определяют структуру коэффициентов яркости, а уравнения (19.41) и (19.42) служат для определения вспомогательных функций φ(μ) и ψ(μ).
При индикатрисе рассеяния произвольного вида коэффициенты яркости также выражаются через вспомогательные функции, зависящие только от одного аргумента, и эти функции определяются системами уравнений, похожими на уравнения (19.41) и (19.42) (см., например, [2]).
Нам ещё остаётся доказать симметричность коэффициентов яркости относительно углов падения и отражения (или пропускания). Для этого рассмотрим интегральное уравнение
𝑆(τ,μ₀)
=
τ₀
∫
0
𝐾(|τ-𝑡|)
𝑆(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
+
𝑔(τ,μ₀)
(19.43)
с произвольным ядром, зависящим от модуля разности двух аргументов, и с произвольным свободным членом, зависящим от параметра μ₀ Уравнение (19.24) является частным случаем уравнения (19.43).
Считая, что 𝑔(τ,μ) представляет собой свободный член уравнения (19.43), в котором μ₀ заменено на μ получаем
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
𝑔(τ,μ)
𝑑τ
=
=
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
⎡
⎢
⎣
𝑆(τ,μ)
-
τ₀
∫
0
𝐾(|τ-𝑡|)
𝑆(𝑡,μ)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝑑τ
=
=
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
𝑆(τ,μ)
𝑑τ
-
-
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ)
𝑑𝑡
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
𝐾(|τ-𝑡|)
𝑑τ
.
(19.44)
Отсюда, обращаясь снова к уравнению (19.43), находим
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
𝑔(τ,μ)
𝑑τ
=
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ)
𝑔(τ,μ₀)
𝑑τ
.
(19.45)
Аналогично можно получить:
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
𝑔(τ₀-τ,μ)
𝑑τ
=
τ₀
∫
0
𝑆(τ,μ)
𝑔(τ₀-τ,μ₀)
𝑑τ
.
(19.46)
Полагая
𝑔(τ,μ₀)
=
exp
⎛
⎜
⎝
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
и принимая во внимание формулы (19.25) и (19.26), из (19.45) и (19.46) имеем
ρ(μ,μ₀)
=
ρ(μ₀,μ)
,
σ(μ,μ₀)
=
σ(μ₀,μ)
.
(19.47)
Эти соотношения, которыми раньше мы уже пользовались, нам и требовалось доказать.
Соотношения (19.47) играют весьма важную роль в теории рассеяния света. С физической точки зрения они выражают «принцип обратимости» для оптических явлений. К планетным атмосферам впервые этот принцип применил Миннарт (см. [5]).
4. Отражение света поверхностью планеты.
Выше мы предполагали, что коэффициент отражения света поверхностью планеты равен нулю. Теперь примем во внимание эффект отражения, причём для простоты будем считать, что интенсивность отражённого света не зависит от направления (т.е. отражение является изотропным). Альбедо поверхности планеты обозначим через 𝐴. Индикатрису рассеяния света в планетной атмосфере, как и раньше, будем считать сферической.
