Курс теоретической астрофизики - Соболев Виктор Викторович
Ниже излагаются некоторые из этих методов, представляющих наибольший интерес для астрофизики.
2. Приближённое решение уравнений.
Для решения системы уравнений (2.9) были предложены приближённые методы, основанные на усреднении интенсивности излучения по направлениям. Первый из этих методов принадлежит Шварцшильду и Шустеру, второй — Эддингтону. Мы сейчас решим систему уравнений (2.9) при помощи каждого из указанных методов.
Метод Шварцшильда — Шустера. Обозначим через 𝐼₁(τ) среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через 𝐼₂(τ) — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз. Эти величины равны
𝐼₁(τ)
=
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
,
𝐼₂(τ)
=
π
∫
π/2
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
.
(2.12)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от 0 до π/2, получаем
𝑑
𝑑τ
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
=
𝐼₁(τ)
-
𝑆(τ)
.
(2.13)
Интеграл в левой части этого уравнения приближённо представим в виде
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
=
½
𝐼₁(τ)
,
(2.14)
т.е. вынесем за знак интеграла среднее значение cosθ в верхней полусфере, равное ½. Тогда вместо (2.13) будем иметь
1
2
𝑑𝐼₁(τ)
𝑑τ
=
𝐼₁(τ)
-
𝑆(τ)
.
(2.15)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от π/2 до π, аналогично находим
-
1
2
𝑑𝐼₂(τ)
𝑑τ
=
𝐼₂(τ)
-
𝑆(τ)
.
(2.16)
Второе из уравнений (2.9) при помощи величин 𝐼₁(τ) и 𝐼₂(τ) переписывается так:
𝑆(τ)
=
½[
𝐼₁(τ)
+
𝐼₂(τ)
]
(2.17)
Таким образом, от системы уравнений (2.9) мы приближённо перешли к системе уравнений (2.15)—(2.17), которая решается весьма просто.
Складывая почленно уравнения (2.15) и (2.16) и пользуясь (2.17), находим
𝐼₁(τ)
-
𝐼₂(τ)
=
𝐹
,
(2.18)
где 𝐹 — произвольная постоянная. Вычитая (2.16) из (2.15) и учитывая (2.18), получаем
𝐼₁(τ)
+
𝐼₂(τ)
=
2𝐹τ
+
𝐶
,
(2.19)
где 𝐶 — новая постоянная.
Для определения постоянных 𝐹 и 𝐶 обратимся прежде всего к граничному условию (2.10). В данном случае оно означает, что 𝐼₂(0)=0. Находя из (2.18) и (2.19) величину 𝐼₂(0) и пользуясь этим условием, имеем
𝐶
=
𝐹
.
(2.20)
Что касается постоянной 𝐹, то она выражается через полный поток излучения 𝐻, который постоянен в фотосфере и даётся формулой (2.11). По определению, полный поток излучения равен
𝐻
=
2π
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
.
(2.21)
В принятом приближении
𝐻
=2π
⎡
⎢
⎣
1
2
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
-
1
2
π
∫
π/2
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
⎤
⎥
⎦
=
=
π[
𝐼₁(τ)
-
𝐼₂(τ)
].
(2.22)
Сравнивая (2.22) с (2.18), получаем
𝐻
=
π𝐹
.
(2.23)
Подстановка (2.19) и (2.20) в (2.17) даёт одну из искомых функций:
𝑆(τ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
τ
+
1
2
⎞
⎟
⎠
.
(2.24)
Другая искомая функция 𝐼(τ,θ) легко выражается через 𝑆(τ) при помощи первого из уравнений (2.9).
Метод Эддингтона. Умножим первое из уравнений (2.9) на 2π cosθ sinθ 𝑑θ и проинтегрируем от 0 до π. Пользуясь формулой (2.21), получаем
2π
𝑑
𝑑τ
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
cos²θ
sinθ
𝑑θ
=
𝐻
.
(2.25)
Вынесем за знак интеграла среднее значение cos² на сфере, равное ¹/₃ т.е. приближённо положим
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
cos²θ
sinθ
𝑑θ
=
1
3
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
.
(2.26)
Тогда вместо (2.25) при учёте второго из уравнений (2.9) находим
4π
3
𝑑𝑆(τ)
𝑑τ
=
𝐻
.
(2.27)
Так как полный поток излучения постоянен в фотосфере, то из (2.27) следует
𝑆(τ)
=
3
4π
𝐻τ
+
𝐶
,
(2.28)
где 𝐶 — произвольная постоянная.
Для нахождения 𝐶 напишем выражение для величин 𝑆(τ) и 𝐻 при τ=0. Принимая во внимание граничное условие (2.10), находим
𝑆(0)
=
1
2
π
∫
0
𝐼(0,θ)
sinθ
𝑑θ
,
(2.29)
а также приближённо
𝐻
=
π
π
∫
0
𝐼(0,θ)
sinθ
𝑑θ
.
(2.30)
Поэтому имеем
𝑆(0)
=
𝐻
2π
.
(2.31)
При условии (2.31) для постоянной 𝐶 получаем
𝐶
=
𝐻
2π
.
(2.32)
Подстановка (2.32) в (2.28) даёт
𝑆(τ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
3
4
τ
+
1
2
⎞
⎟
⎠
,
