Курс теоретической астрофизики - Соболев Виктор Викторович
Принимая эту модель, мы должны в уравнении переноса излучения (9.1) положить равными нулю коэффициенты поглощения и излучения в непрерывном спектре. В таком случае уравнение переноса излучения принимает вид
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
σ
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(10.2)
Введём оптическую глубину в частоте ν
𝑡
ν
=
∞
∫
𝑟
σ
ν
𝑑𝑟
(10.3)
и обозначим
ε
ν
=
σ
ν
𝑆
ν
.
(10.4)
Тогда вместо уравнений (10.1) и (10.2) получаем
cos θ
𝑑𝐼ν(𝑡ν,θ)
𝑑𝑡ν
=
𝐼
ν
(𝑡
ν
,θ)
-
𝑆
ν
(𝑡
ν
)
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑆
ν
(𝑡
ν
)
=
½
π
∫
0
𝐼
ν
(𝑡
ν
,θ)
sin θ
𝑑θ
.
(10.5)
Заметим, что уравнения (10.5) формально не отличаются от уравнений (2.8) в теории фотосфер. Однако уравнения (2.8) относятся к интегральному излучению, а уравнения (10.5) - к излучению определённой частоты ν внутри линии.
К системе уравнений (10.5) надо добавить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (при 𝑡ν=0) выражает отсутствие излучения, падающего на звезду извне:
𝐼
ν
(0,θ)
=
0
при
θ
>
π
2
.
(10.6)
Условие на нижней границе атмосферы (при 𝑡ν=𝑡ν⁰) должно выражать собой тот факт, что интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу, задана и равна интенсивности непрерывного спектра в частоте ν (её, очевидно, можно считать равной интенсивности излучения, выходящего из атмосферы вблизи линии). Обозначая, как и раньше, эту интенсивность через 𝐼ν⁰(0,θ), имеем
𝐼
ν
(𝑡
ν
⁰,θ)
=
𝐼
ν
⁰(0,θ)
при
θ
<
π
2
.
(10.7)
Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений (10.5) при граничных условиях (10.6) и (10.7).
Для решения полученной системы уравнений могут быть использованы методы, изложенные в гл. I. Применим к ней первый приближённый метод (т.е. метод Шварцшильда — Шустера).
Обозначая через 𝐼ν' среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через 𝐼νʺ — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз, вместо системы уравнений (10.5) приближённо получаем
1
2
𝑑𝐼ν'
𝑑𝑡ν
=
𝐼
ν
'
-
𝑆
ν
,
-
1
2
𝑑𝐼νʺ
𝑑𝑡ν
=
𝐼
ν
ʺ
-
𝑆
ν
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑆
ν
'
=
(
𝐼
ν
'
-
𝐼
ν
ʺ
).
(10.8)
Из уравнений (10.8) следует
𝐼
ν
'
-
𝐼
ν
ʺ
=
𝐹
ν
,
𝐼
ν
'
+
𝐼
ν
ʺ
=
2𝐹
ν
𝑡
ν
+
𝐶
ν
,
(10.9)
где 𝐹ν и 𝐶ν — произвольные постоянные.
Граничные условия (10.6) и (10.7) в данном случае принимают вид
𝐼
ν
ʺ
=
0
при
𝑡
ν
=
0
,
𝐼
ν
'
=
𝐼
ν
⁰
при
𝑡
ν
=
𝑡
ν
⁰
,
(10.10)
где 𝐼ν⁰ — средняя интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу. При помощи (10.10) находим
𝐶
ν
=
𝐹
ν
,
𝐹
ν
=
𝐼ν⁰
1+𝑡ν⁰
.
(10.11)
Знание произвольных постоянных позволяет получить из уравнений (10.8) и (10.9) следующее выражение для функции 𝑆ν:
𝑆
ν
=
𝐼ν⁰
1+𝑡ν⁰
⎛
⎜
⎝
1
2
+
𝑡
ν
⎞
⎟
⎠
.
(10.12)
Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, в рассматриваемом случае равна
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝑡ν⁰
∫
0
𝑆
ν
(𝑡
ν
)
𝑒
-𝑡νsec θ
sec θ
𝑑𝑡
ν
+
+
𝐼
ν
⁰(0,θ)
𝑒
-𝑡ν⁰sec θ
.
(10.13)
Если мы подставим сюда найденное выражение для 𝑆ν и воспользуемся формулой (9.10), то получим искомую величину 𝑟ν(θ), характеризующую профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска.
Чтобы определить величину 𝑟ν, характеризующую профиль линии в спектре всей звезды, надо найти потоки излучения, выходящего из атмосферы в частоте ν внутри линии и в непрерывном спектре вблизи линии. В принятом приближении эти величины равны
𝐻
ν
=
π𝐹
ν
,
𝐻
ν
⁰
=
π
𝐹
ν
⁰
.
(10.14)
Подставляя (10.14) в (9.11) и пользуясь второй из формул (10.11), получаем
