Курс теоретической астрофизики - Соболев Виктор Викторович
3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
2ℎ
𝑐²
×
×
∞
∫
0
⎡
⎢
⎣
1+2
χ₁
𝑘𝑇
∞
∑
𝑖=𝑖₀
1
𝑖³
exp
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
𝑑ν
.
(5.31)
Здесь для простоты мы положили 𝑔𝑖ν=1 и 𝑔ν=1. Меняя порядок интегрирования и суммирования и производя интегрирование, находим
∞
∫
0
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
𝑑ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇
3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
2ℎ
𝑐²
×
×
𝑘𝑇
ℎ
⎡
⎢
⎣
1
+
2,4
χ₁
𝑘𝑇
⎤
⎥
⎦
.
(5.32)
Кроме того, имеем
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝑑ν
=
2ℎ
𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑘𝑇
ℎ
⎞⁴
⎟
⎠
∞
∫
0
𝑥³𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
=
2ℎ
𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑘𝑇
ℎ
⎞⁴
⎟
⎠
π⁴
15
.
(5.33)
Подстановка (5.32) и (5.33) в формулу (5.27) даёт
α
=
40
π⁴√3
𝑒⁶ℎ⁴
𝑚𝑒(2π𝑚)³/²
χ₁
⎡
⎢
⎣
1
+
2,4
χ₁
𝑘𝑇
⎤
⎥
⎦
𝑛𝑒𝑛⁺
(𝑘𝑇)⁷/²
.
(5.34)
Формулу (5.34) мы получили для атома водорода, но она справедлива без изменений и для водородоподобных ионов (так как атомный номер Z входит в χ₁) Приближённо формула (5.34) справедлива и для других атомов.
Напомним, что первый член в квадратных скобках формулы (5.34) соответствует свободно-свободным переходам, а второй член — связанно-свободным переходам. В случае поглощения излучения водородными атомами первый член преобладает при температурах, больших 400 000 K, а второй член — при температурах, меньших 400 000 K (так как для водорода χ₁/𝑘=157 200).
Считая, что водородные атомы полностью ионизованы (а значит, 𝑛𝑒=𝑛⁺~ρ), в двух указанных случаях из формулы (5.34) получаем
α
≈
ρ²
𝑇⁷/²
(5.35)
(при сравнительно высоких температурах) и
α
≈
ρ²
𝑇⁹/²
(5.36)
(при сравнительно низких температурах). Формулы (5.35) и (5.36) довольно часто применяются в астрофизике.
§ 6. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты
1. Приближённая теория.
Самый простой путь для построения приближенной теории фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты, состоит в использовании результатов изложенной выше теории фотосфер при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения α. Как было показано в предыдущем параграфе, его можно определить так, что сохраняется такая же зависимость температуры 𝑇 от оптической глубины τ, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Поэтому сохраняются и полученные ранее выводы о строении звёздной фотосферы, т.е. об изменении в ней плотности и температуры с геометрической глубиной (в соответствующих формулах § 4 надо лишь заменить α на α).
Однако для определения поля излучения в фотосфере для разных частот необходимо, чтобы в теории фигурировал коэффициент поглощения αν или соответствующая ему оптическая глубина τν. Для нас особенный интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды. Как было показано ранее, она определяется формулой (4.30), справедливой при любой зависимости τν от ν. Мы будем считать, что входящая в эту формулу температура 𝑇 при помощи формулы (5.26) выражается через оптическую глубину τ, соответствующую среднему коэффициенту поглощения. Поэтому для вычисления по формуле (4.30) надо выразить и τν через τ. Мы приближённо примем, что αν/α не меняется в фотосфере. Тогда получаем
τ
ν
=
∞
∫
𝑟
α
ν
𝑑𝑟
=
αν
α
∞
∫
𝑟
α
𝑑𝑟
=
αν
α
τ
.
(6.1)
На самом деле величина αν/α зависит от глубины в фотосфере. Очевидно, что для вычисления интенсивности излучения, выходящего из звезды, для величины αν/α надо брать её значение в поверхностных слоях фотосферы (точнее говоря, в тех слоях, в которых в среднем возникает непрерывный спектр).
Подставляя (6.1) в (4.30), для интенсивности излучения, выходящего из звезды под углом θ к радиусу-вектору в частоте ν, получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
exp
⎛
⎜
⎝
-
αν
α
τ
secθ
⎞
⎟
⎠
secθ
αν
α
𝑑τ
,
(6.2)
где 𝐵ν(𝑇) — планковская интенсивность при температуре 𝑇. Принимая во внимание (4.2) и (5.26), вместо (6.2) находим
𝐼
ν
(0,θ)
=
2ℎν³
𝑐²
∞
∫
0
exp
⎛
⎜
⎝
-
αν
α
τ
secθ
⎞
⎟
⎠
×
×
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
𝑘𝑇𝑒
⎧
⎪
⎩
1
2
+
3
4
τ
⎫-¼
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
-1
⎤⁻¹
⎥
⎦
secθ
αν
α
𝑑τ
.
(6.3)
В том же приближении (т.е. при αν/α=const) для потока излучения в частоте ν на поверхности звезды имеем
𝐻
ν
