Курс теоретической астрофизики - Соболев Виктор Викторович
.
(27.25)
где 𝑘ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, и εν — объёмный коэффициент излучения.
Уравнение лучистого равновесия для Lα-излучения может быть получено из уравнения стационарности для второго уровня атома водорода. Как мы знаем, атомы водорода попадают во второе состояние в результате поглощения L𝑐-квантов и последующих рекомбинаций. При этом каждая рекомбинация на высокий уровень (начиная со второго) приводит к попаданию атома во второе состояние. Поэтому в качестве уравнения стационарности для этого состояния мы имеем
𝑛₂𝐴₂₁
=
𝑛₁𝐵₁₂ρ₁₂
+
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
2
𝐶
𝑖
.
(27.26)
Очевидно, что
𝑛₂𝐴₂₁
=
4π
ℎν₁₂
∫
ε
ν
𝑑ν
(27.27)
и
𝐵₁₂ρ₁₂
=
1
ℎν₁₂
∫
𝑘
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
,
(27.28)
где ℎν₁₂ — энергия Lα-кванта. Кроме того, используя формулу (27.9), получаем
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
2
𝐶
𝑖
=
1-𝑝
𝑝
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶₁
=
4π
1-𝑝
𝑝
𝑛₁
𝑘₁
ν₁
𝑆
𝑐
(τ)
,
(27.29)
где функция 𝑆𝑐(τ) определяется уравнением (27.16). Подстановка трёх последних соотношений в уравнение (27.26) даёт
∫
ε
ν
𝑑ν
=
𝑛₁
∫
𝑘
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
+
1-𝑝
𝑝
𝑛₁
𝑘₁
ν₁
𝑆
𝑐
(τ)
ℎν₁₂
.
(27.30)
Как было выяснено в теории образования линий поглощения (в § 11), диффузия излучения в спектральной линии сопровождается перераспределением излучения по частотам при элементарном акте рассеяния. При этом в качестве хорошего приближения к действительности можно принять предположение о полном перераспределении излучения по частотам (или о полностью некогерентном рассеянии), при котором коэффициент излучения εν пропорционален коэффициенту поглощения 𝑘ν. Сделав такое предположение, мы можем представить величину εν в виде
ε
ν
=
𝑛₁
𝑘
ν
𝑆
,
(27.31)
где 𝑆 не зависит от частоты.
При выполнении соотношения (27.31) уравнение переноса излучения (27.25) и уравнение лучистого равновесия (27.30) могут быть переписаны так:
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=
𝑛₁
𝑘
ν
(𝑆-𝐼
ν
)
(27.32)
и
𝑆
∫
𝑘
ν
𝑑ν
=
∫
𝑘
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
1-𝑝
𝑝
𝑘₁
ν₁
𝑆
𝑐
ℎν₁₂
.
(27.33)
Обозначим через 𝑘₀ коэффициент поглощения в центре линии Lα и введём оптические расстояния в туманности:
𝑡
=
𝑟
∫
𝑟₁
𝑛₁
𝑘₀
𝑑𝑟
,
𝑡₀
=
𝑟₂
∫
𝑟₁
𝑛₁
𝑘₀
𝑑𝑟
.
(27.34)
Кроме того, представим коэффициент поглощения в виде
𝑘
ν
=
𝑘₀
α(𝑥)
,
(27.35)
где 𝑥 — безразмерная частота, представляющая собой отношение расстояния от центра линии к доплеровской полуширине линии, т.е.
𝑥
=
ν-ν₀
Δν𝐷
.
(27.36)
При принятых обозначениях вместо уравнений (27.32) и (27.33) имеем
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=
α(𝑥)
(𝑆-𝐼
ν
)
(27.37)
и
𝑆
=
𝐴
+∞
∫
-∞
α(𝑥)
𝑑𝑥
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
1-𝑝
𝑝
𝐴𝑞ℎν₁₂
Δν𝐷
𝑆
𝑐
(τ)
,
(27.38)
где
𝑞
=
𝑘₁ν₁
𝑘₀
,
и
𝐴
+∞
∫
-∞
α(𝑥)
𝑑𝑥
=
1.
(27.39)
Уравнения (27.37) и (27.38) должны быть решены при граничных условиях, аналогичных (27.15). Пользуясь этими условиями, из указанных уравнений получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡):
𝑆(𝑡)
=
1
2
𝑡₀
∫
0
⎡
⎣
𝐾(|𝑡-𝑡'|)
+
𝐾(𝑡+𝑡')
⎤
⎦
𝑆(𝑡')
𝑑𝑡'
+
𝑆₀(𝑡)
,
(27.40)
где
𝐾(𝑡)
=
𝐴
+∞
∫
-∞
α²(𝑥)
𝐸₁[𝑡α(𝑥)]
𝑑𝑥
(27.41)
и
𝑆₀(𝑡)
=
1-𝑝
𝑝
𝐴𝑞ℎν₁₂
Δν𝐷
𝑆
𝑐
(τ)
.
(27.42)
Заметим, что между оптическими расстояниями 𝑡 и τ существует очевидная связь:
τ
=
𝑞𝑡
,
τ₀
=
𝑞𝑡₀
(27.43)
Как показывают вычисления, 𝑞≈10⁻⁴. Поэтому мы видим, что при оптической толщине туманности сразу за пределом серии Лаймана порядка единицы (такие значения τ₀ следует принять для зоны 𝙷 II) оптическая толщина туманности в центре линии Lα будет порядка десятка тысяч.
Нахождение функции 𝑆(𝑡) из уравнения (27.40) полностью определяет поле Lα-излучения в туманности, так как после этого из уравнения (27.37) может быть найдена и интенсивность излучения 𝐼ν(𝑡,θ). Через функцию 𝑆(𝑡) можно выразить и другие физические величины, связанные с Lα-излучением. Например, из формул (27.27) и (27.31) мы получаем следующее выражение для степени возбуждения второго уровня атома водорода:
